Pesando coisas muito leves

          Como pesar uma coisa muito leve com uma balança de cozinha 

         Suponha que você queira medir a massa[i] de um pequeno objeto, como a tampa de uma caneta, e só disponha de uma balança doméstica digital, cuja menor divisão é um grama. Balanças digitais comuns indicam o valor da massa do objeto arredondada para baixo. Por exemplo, se você colocar um objeto com menos do que 1 grama, ela indicará zero. Aumentando a massa sobre a balança, ela continuará marcando zero grama até que a massa atinja um grama, quando a balança passará a indicar 1 g. Aumentando paulatinamente a massa, a balança continuará a indicar um grama e permanece assim até que a massa total sobre ela atinja 2 g.

Se é assim que uma balança digital funciona, como fazer quando precisamos estimar a massa de um objeto com alguma precisão ou mesmo pesar uma coisa cuja massa é menor do que 1 g?

         Um truque 

O truque é simples: coloque um objeto qualquer sobre a balança e anote o valor indicado. Em seguida, sem retirar esse primeiro objeto, adicione o pequeno objeto que deseja pesar. Se a massa adicional for suficiente para que o total ultrapasse em pelo menos um grama o valor anterior, a balança registrará um número maior, aumentando em uma unidade. Caso contrário, o valor exibido permanecerá o mesmo

Repetindo esse procedimento com diferentes objetos      a variação do valor indicado será zero ou um; tão mais zeros quanto menor for a massa do pequeno objeto e tão mais uns quanto mais próxima ela for de 1 g. A figura 1 ilustra o procedimento.

Figura 1 – O eixo horizontal indica a massa, em grama. A ponta cinzenta indica a massa do primeiro objeto colocado na balança; neste caso, uma balança digital cuja menor divisão é um grama, o valor indicado será 16. Caso a massa do pequeno objeto colocado na balança seja maior ou igual do que aquele intervalo indicado pela chave, o valor mostrado pela balança será 17; caso seja menor, 16.

Medindo a massa de uma tampa de caneta

         Vamos realizar, na prática, a medida da massa de uma pequena tampa de caneta. Quando uma fruta é colocada sobre uma balança, o valor indicado é 197 g, indicando que a massa está entre 197 g e 198 g. Quando a tampa de caneta foi adicionada, o novo valor é 198 g; portanto, a massa total é superior a 198 g. A diferença neste caso foi de 1 g.

Quando esse mesmo procedimento é repetido com um livro, o valor indicado, esteja a tampa também na balança ou apenas o livro, é 792 g: com ou sem a tampa, a massa esteve entre 792 e 793 g.

 

Figura 2 – Quando a tangerina é pesada sozinha, a balança indica 197 g; quando uma tampa de caneta é adicionada, a massa indicada é 198 g. A balança indica uma massa de 792 g para o livro, mesmo valor que indica quando a tampa de caneta também é colocada sobre a balança.

 

Mas, cuidado. Balanças podem ser traiçoeiras, pois demoram um pouco para responder a uma mudança de massa muito pequena; portanto, espere um pouco para anotar o valor cada vez que você colocar a tampa na balança. Outro cuidado que talvez possa seja necessário é inverter o procedimento: coloque a tampa e o objeto e, depois, retire a tampa, aguarde alguns segundos para a balança estabilizar, e anote a diferença.

Medidas como essas foram repetidas 30 vezes, usando objetos com massa variável, e os resultados aparecem na tabela. Em 25 casos, a diferença foi de 1 g; nos demais casos, nula. A questão é como estimar a massa e seu desvio padrão a partir desses dados. Vejamos.

Volte à figura 1 e observe que a chance de que haja o incremento de uma unidade na massa indicada pela balança quando a tampa é adicionada é igual à fração ocupada pela chave na figura em relação à distância entre duas marcas sucessivas, ou seja, m/1 g, onde m é a massa da tampa de caneta. Por exemplo, se a massa do pequeno objeto for 0,5 g, metade das vezes que ele foi adicionado o valor indicado aumentará de uma unidade; se for de 0,8g, 80% das vezes o valor aumentará de 1 g e 20%, permanecerá inalterado.

Se no caso dos dados da tabela isso ocorreu 25 vezes em 30, concluímos que a massa é m_est=25/30 g=0,85 g, igual à média das diferenças indicadas na tabela.

Resultado das 25 pesagens de um objeto sem e com a pequena tampa de caneta, em grama.
sem	com	dif	sem	com	dif	sem	com	dif
12	12	0	79	80	1	253	254	1
15	16	1	104	105	1	275	276	1
18	18	0	126	127	1	344	344	0
24	25	1	127	128	1	390	391	1
27	28	1	159	159	0	404	405	1
30	31	1	167	168	1	406	407	1
45	46	1	174	175	1	420	421	1
57	58	1	200	201	1	446	446	0
72	73	1	202	203	1	498	499	1
78	79	1	219	220	1	570	571	1

 

         O desvio padrão dos dados das diferenças pode ser estimado da forma usual,

 . 

Como o desvio padrão da média é o desvio padrão dos dados dividido pela raiz quadrada da quantidade deles, obtemos σ_méd=0,07 g. Portanto, a massa que deve ser usada para a pequena tampa de caneta é 0,85±0,07 g.

         Essa pequena tampa de caneta foi pesada em uma balança de precisão; o resultado obtido foi 0,90 g (havia algumas casas decimais a mais, mas como é irrelevante aqui, ficam só duas casas depois da vírgula). O resultado obtido com a balança de cozinha não está mal.

 

Não serve só para pesar tampas de caneta

 

         Os quarteirões da cidade ondo moro têm um comprimento que varia entre cerca de 50 m, em casos pouco casos, 100 m ou perto disso na maioria dos casos e, em alguns raros casos, 200 m ou mais. Se uma pessoa quiser medir o comprimento de um desses quarteirões, ela pode usar o odômetro de um veículo. Como?

Muitos veículos têm dois odômetros: um que registra a quilometragem total do veículo desde o início de seu uso, e outro que pode ser zerado manualmente. A menor distância que esses odômetros registram é 0,1 km, mudando a indicação cada vez que a distância percorrida superar um múltiplo de 0,1 km. Se essa pessoa zerar o odômetro zerável no início do quarteirão, ao chegar no final dele a distância indicada será um valor arredondado para baixo, para o maior múltiplo inteiro de 0,1 km menor do que a real distância. Se essa pessoa repetir esse procedimento múltiplas vezes, o valor obtido será sempre o mesmo.

O truque, nesse caso, é similar ao da balança. O odômetro não deve ser zerado. A pessoa deve anotar os valores no início e no fim do percurso, repetindo essa medida várias vezes. A média dos valores anotados é uma boa estimativa da distância que se quer conhecer.

Há vários equipamentos de uso técnico e científico que adotam esse tipo de procedimento. Um exemplo são os osciladores de baixa resolução usados para medir intervalos de tempo: neste caso, um número aleatório é somado ao tempo registrado pelo clock do sistema.

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[i] Balanças medem o peso, que é a força que é aplicada sobre ela, mas são calibradas para indicar a massa.