Método dos Mínimos Quadrados
com Formalismo Matricial
Otaviano Helene
Segunda edição, junho de 2013
A segunda edição incorpora algumas alterações e várias sugestões apresentadas por leitores, estudantes e colegas.
Em relação à primeira edição, foram adicionados alguns exercícios e, em vários deles, são dadas as respostas.
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ÍNDICE
1 - INTRODUÇÃO 11
1 - Solução para um problema sem solução 12
2 – Objetivo e apresentação do texto 13
Exercícios 15
2 - O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 17
1 - O Método dos Mínimos Quadrados: ajuste dos parâmetros de uma reta 17
2 - Otimização de um experimento 21
3 – Exemplo numérico: ajuste dos parâmetros de uma reta 22
4 – Ajuste de parâmetros: um caso mais geral 23
5 - Conclusão 25
Exercícios 26
3 - VARIÂNCIAS E COVARIÂNCIAS; PROPAGAÇÃO DA MATRIZ DE COVARIÂNCIA 29
1 - O que é variância 29
2 - Propagação de variância 32
3 - Covariâncias 33
4 - Matriz de covariância e propagação de variâncias e covariâncias 36
5 - Exemplos 38
6 - Propagção não linear com duas variáveis 39
7 - Matriz de covariância sungular 40
8 - Variâncias e covariâncias em interpolações 40
9 - Incerteza em interpolação e extrapolação 41
5 - Exercícios 42
4 - FORMALISMO MATRICIAL PARA O MMQ 45
1 - Estabelecimento do problema 46
2 - Exemplo: ajuste dos parâmetros de uma reta 49
3 – Retomando o exemplo da Seção I-1 50
4 - Exemplo: um ajuste mais geral 51
5 - Sumário 52
6 - Teste de qui-quadrado 53
Exercícios 54
5 - EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO MMQ COM FORMALISMO MATRICIAL E CÁLCULOS DE MATRIZES DE COVARIÂNCIA 59
1 - Ajuste dos parâmetros de um polinômio 59
2 - Média de dados experimentais não correlacionados 61
3 - Origem de correlação entre dados experimentais 62
4 – Erros sistemáticos e covariâncias 65
5 - Média de dois dados correlacionados 66
6 - Média de muitos dados correlacionados 67
7 - Limites para a correlação 68
8 - Média de dados correlacionados: peso negativo 68
9 - Ajuste de duas funções com parâmetros em comum 69
10 - Incorporação de um novo dado a um ajuste 70
11 - Relação entre vários dados e vários parâmetros 72
12 - Vínculo entre parâmetros 73
13 – Covariância entre os dados experimentais e os parâmetros ajustados 74
14 – Fixando o valor de uma variável 76
Exercícios 77
6 - PROPRIEDADES GERAIS DO MMQ 81
1 - Não tendenciosidade e consistência 82
1 - Não tendenciosidade 82
2 - Consistência 85
2 - Mínima variância 87
3 - O Teorema Central do Limite 89
4 - Discussão 91
Exercícios 93
7 - VÍNCULOS LINEARES ENTRE PARÂMETROS 95
1 - Ajuste com vínculo linear 95
2 - Exemplo: ajuste de duas funções com parâmetro em comum 97
1 - Ajuste usando os resultados da Seção V-9 98
2 - Ajuste com vínculo 99
3 - Ajuste de duas funções independentes e posterior reajuste de um mesmo valor para o parâmetro comum 101
3 - Conclusão 103
Exercícios 104
8 - ALGUMAS APROXIMAÇÕES 107
1 - Ajuste de funções não lineares: método de Gauss 107
2 - Método de Gauss-Marquardt 113
3 - Correção de tendenciosidade 114
4 - Erro nas variáveis independentes 115
5 - Exemplos 117
1 – Incertezas nas duas variáveis: ajuste dos parâmetros de uma reta 117
2 - Ajuste da equação de um plano 118
Exercícios 119
REFERÊNCIAS 121
APÊNDICE A – ESTIMATIVA DA VARIÂNCIA 123
1 – Estimativa da variância a partir da dispersão de um conjunto de dados 125
2 – Estimativa pela dispersão dos pontos de uma função 126
3 – Estimativa a partir de modelos para a variância 127
4 – Combinando diferentes estimativas 130
APÊNDICE B – ESTIMATIVA DA COVARIÂNCIA E DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO ENTRE DUAS GRANDEZAS 129
APÊNDICE C – DISTRIBUIÇÃO E TESTE DE QUI-QUADRADO 131
ÍNDICE REMISSIVO 135 \
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